第一天

1.设$P$是整系数多项式满足$P(0)=0$并且$\gcd(P(0),P(1),P(2),\cdots)=1.$证明:存在无穷多个正整数$n$,使得满足$\gcd(P(n)-P(0),P(n+1)-P(1),P(n+2)-P(2),\cdots)=n.$

2.设正实数$a,b,c$满足$abc=1$,求证:

$\displaystyle\frac{1}{a^5(b+2c)^2}+\frac{1}{b^5(c+2a)^2}+\frac{1}{c^5(a+2b)^2}\geq \frac{1}{3}.$

3.设$h_a,h_b,h_c$分别是$\Delta ABC$对应顶点$A,B,C$的高线长,$P$是$\Delta ABC$内一点,求证:

$\displaystyle\frac{AP}{h_b+h_c}+\frac{BP}{h_c+h_a}+\frac{CP}{h_a+h_b}\geq 1.$

第二天

1.如图所示,点$P,Q$分别在$\Delta ABC$的边$AB,BC$上满足$PQ$ 平行于$AC$,点$M,N$分别在$\Delta ABC$的边$AC,BC$上满足$MN$ 平行于$AB$.$\Delta CNM$的内切圆切$AC$于点$E$,$\Delta BPQ$的内切圆切$AB$于点$F$.设直线$EN,AB$交于点$R$,直线$FQ,AC$交于点$S$.如果$AE=AF$,求证:$\Delta AEF$的内心$I$在$\Delta ASR$的内切圆上.

2.定义数列$\{a_n\}_{n=1}$如下:$a_1=1$,对任意的$n>1$有$a_{n}= a_{\lfloor n/2\rfloor}+a_{\lfloor n/3\rfloor}+\cdots+a_{\lfloor n/n\rfloor}+1.$证明:存在无穷多的正整数$n$满足$a_n\equiv n(\mathrm{mod}\;2^{2010})$.

3.设$T$是由大于1的正整数组成的有限集,$S$是$T$的子集.称$S$是$T$的好子集,如果任取$t\in T$都存在$s\in S$使得$\gcd(s,t)>1$.证明:$T$的好子集的个数为奇数.

第三天

1.在$\Delta ABC$内两点$P,Q$,满足$\angle ABP=\angle QBC,\angle ACP=\angle QCB$.点$D$在边$BC$上.求证:

$\angle APB+\angle DPC=180^{\circ}\iff \angle AQC+\angle DQB=180^{\circ}$.

2.正整数$m\geq n,S$是所有满足$a_1+a_2+\cdots+a_n=m$的$n$元正整数序列$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$全体组成的集合.求证:

$$\sum_{S}1^{a_{1}}2^{a_{2}}\cdots n^{a_{n}}=C_{n}^{n}n^{m}-C_{n}^{n-1}(n-1)^{m}+\cdots+(-1)^{n-2}C_{n}^{2}2^{m}+(-1)^{n-1}C_{n}^{1}.$$

3.是否存在正整数$k$使得$p=6k+1$是素数并满足$C_{3k}^k\equiv 1 (\mathrm{mod} p)$.