1.三角形$ABC$中$O,I$分别为外心和内心,$X$是$I$关于$O$的对称点.过$X$作$BC$的垂线交$BC$于$A_1$,类似的定义$B_1,C_1$.求证:$AA_1,BB_1,CC_1$三线共点.

2.在四边形$ABCD$中,$E,F$分别在$BC,AD$上,满足$\Delta AED,\Delta BCF$的面积之和为四边形$ABCD$的面积的$\displaystyle\frac{4}{7}$.$R$是四边形$ABCD$的对角线交点,有$\displaystyle\frac{AR}{RC}=\frac{3}{5},\frac{BR}{RD}=\frac{5}{6}.$求a)$EF$分对角线的比例,b)$\displaystyle\frac{AF}{FD}$为多少.

3.四边形$ABCD$的对角线互相垂直于点$S.K,L,M,N$分别是点$S$关于$AB,BC,CD,DA$的对称点.$BN$交$\Delta SKN$于$E$,交$\Delta SLM$于$F$.求证:$E,F,L,K$四点共圆.

4.三角形$ABC$中$I$为其内心,$BI$和$CI$分别交三角形$ABC$的外接圆于点$E,F$.$M$是$EF$的中点,圆$C$是以$EF$为直径的圆.$IM$交圆$C$于两点$L,K$,交不含点$A$的弧$BC$于点$D$,求证:$\displaystyle\frac{DL}{IL}=\frac{DK}{IK}$．

5.在三角形$ABC$中$I$为其内心,$D$是$A$关于$I$的对称点,其内切圆切$BC$于点$E$.$DE$交$IG$于点$P$($G$是重心),$M$是$BC$的中点,求证:$AP$平行于$DM$,$AP=2DM$．

6.在三角形$ABC$中$\angle C=45^\circ,AD$为高.$X$在$AD$上满足$\angle XBC=90^\circ-\angle B$($X$在三角形内).$AD,CX$分别交三角形$ABC$的外接圆于点$M,N$.过$M$点的$\Delta ABC$的外接圆的切线交$AN$于点$P$,求证:$P,B,O$三点共线.