2011年第52届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试试题(Google)

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2009年

1.圆$\Gamma$与圆$\omega$内切于点$S$,圆$\Gamma$的弦$AB$与圆$\omega$相切于点$T$,设圆$\omega$的圆心为$O$,$P$为直线$AO$上一点.求证:$PB\bot AB$的充分必要条件是$PS\bot TS$.(测试一)

2.在凸五边形$ABCDE$中,$AD$与$BE$相交于$F$,$BE$与$CA$相交于$G$,$CA$与$DB$相交于$H$,$DB$与$EC$相交于$I$,$EC$与$AD$相交于$J$.设$A$、$B$、$C$、$D$、$E$分别为$AI$与$BE$、$BJ$与$CA$ 、$CF$与$DB$、$DG$与$EC$、$EH$与$AD$的交点.求证:

$\displaystyle\frac{AB'}{B'C}\cdot \frac{CD'}{D'E}\cdot\frac{EA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'D}\cdot\frac{DE'}{E'A}=1.$（测试二）

3. 在凸四边形$ABCD$中,$\angle DCA$与$\angle CDB$的外角平分线分别是边$CB$与$DA$,$E$、$F$分别为$AC$、$BD$的延长线上的点,且$C$、$E$、$D$、$F$四点共圆.平面上的一点$P$使$DA$是$\angle PDF$的外角平分线,$CB$是$\angle PCF$的外角平分线.边$AD$与$BC$所在直线交于点$Q$.求证:点$P$在边$AB$上的充分必要条件是点$Q$在线段$EF$上.（测试三）

4.设$D$、$E$分别为$\Delta ABC$的边$AB$、$BC$上的点,$P$是三角形$ABC$内一点,使得$PE=PC$,且$\Delta DEP\sim \Delta PCA$.求证:$BP$是$\Delta PAD$的外接圆切线.（测试四）

5. 在锐角$\Delta ABC$中,点$P$、$Q$分别是边$AB$和$AC$上的点,$\Delta ABC$的外接圆和$\Delta APQ$的外接圆交于异于点$A$的另一点$X$.点$Y$是$X$关于$PQ$的对称点.已知$PX>PB$.求证:$\Delta XPQ$的面积大于$\Delta YBC$的面积.（测试五）

6.设$D$是三角形$ABC$的$BC$边上的一点,满足$\angle CAD=\angle CBA$.圆$O$经过$B$、$D$两点,并分别与线段$AB$、$AD$交于$E$、$F$两点,$BF$、$DE$相交于点$G$.$M$是$AG$的中点.求证:$CM\bot AO$.（选拔赛）

2010年

1.设凸四边形$ABCD$的两组对边的延长线分别交于点$E$、$F$,$\Delta BEC$的外接圆与$\Delta CFD$的外接圆交于$C$、$P$两点.求证:$\angle BAP=\angle CAB$的充分必要条件是$BD~//~EF$.（测试一）

2.锐角$\Delta ABC$中,已知$AB>AC$,设$\Delta ABC$的内心为$I$,边$AC$,$AB$的中点分别为$M$ 、$N$,点$D$、$E$分别在线段$AC$、$AB$上,且满足$BD~//~IM$,$CE~//~IN$ ,过内心$I$作$DE$的平行线与直线$BC$交于点$P$,点$P$在直线$AI$上的投影为$Q$. 求证:点$Q$在$\Delta ABC$的外接圆上.（测试二）

3.设$ABCD$是一个圆内接四边形,$\angle ADC$是锐角,且$\displaystyle\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{CD}$.过$A$,$D$两点的圆$\Gamma$与直线$AB$相切,$E$是圆$\Gamma$在四边形$ABCD$内的弧上一点.求证:$AE\bot EC$的充要条件是$\displaystyle\frac{AE}{AB}-\frac{ED}{AD}=1$.(测试三)

4.在$\Delta ABC$中,$AD$是边$BC$上的高,圆$\Gamma_1$与圆$\Gamma_2$相交于$D$、$K$两点,且圆$\Gamma_1$过边$AB$的中点$M$, 圆$\Gamma_2$过边$AC$中点$N$,直线$MN$是圆$\Gamma_1$与圆$\Gamma_2$的一条公切线.过$BC$边上的任一点$P$作直线$AB$、$AC$的平行线,分别与边$AC$、$AB$交于点$E$、$F$.求证:$K$、$E$、$A$、$F$共圆.（测试四）

5.半圆$\omega$ 的直径为$AB$,两个互相外切的圆$\omega_1$、$\omega_2$ 均与半圆$\omega$相内切,且与线段$AB$相切.圆$\omega_1$与半圆$\omega$相切于点$C$,圆$\omega_2$与线段$AB$相切于点$Q$.求$\tan \angle ACQ$的值.（测试六）

6.在锐角$\Delta ABC$中,$AB>AC$,$M$是边$BC$的中点,$P$是$\Delta AMC$内一点,使得$\angle MAB=\angle PAC$,设$\Delta ABC$,$\Delta ABP$,$\Delta ACP$的外心分别为$O$,$O_1$,$O_2$.求证:直线$AO$平分线段$O_{1}O_{2}$ .（选拔赛）