不等式 2012年数学奥林匹克不等式问题 2011年数学奥林匹克不等式问题 2010年数学奥林匹克不等式问题 Algebraic Inequalities I , Vasile Cirtoaje Algebraic Inequalities II , Vasile Cirtoaje
After subtitution: (where is the 3 interior angles of a triangle) the inequality is deduced to:By these formulasthe inequality is equivalent towhich is true by . 回复 ↓
证明:设的三边长 , 则不等式等价于如果不能组成某三角形三边长 , 则此时不等式明显成立 . 如果能组成某三角形三边长 , 则设该三角形面积为 , 于是由费哈不等式有,利用海伦公式即得等价于而因为 , 所以平方后即得综上所述 , 不等式得证 . 回复 ↓
see also: http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/sxkj3/sxkj3ts/201105/t20110516_1041458.htm http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/sxkj4/sxkj4ts/201106/t20110623_1050799.htm (题目3.1.9) 回复 ↓
第一题 数学吧:http://tieba.baidu.com/f?kz=1143479157
满足
, 求证 :
如果非负实数
After subtitution:
is the 3 interior angles of a triangle)
(where
the inequality is deduced to:

By these formulas
the inequality is equivalent to
which is true by第二题 数学吧 : http://tieba.baidu.com/p/586512170
满足
, 求证 :
实数
By Cauchy-Schwartz inequality , we have

but
done!第三题 数学吧 : http://tieba.baidu.com/p/1157372577
中 , 求证 :
在
证明:设
的三边长
, 则不等式等价于

如果
此时不等式明显成立 .如果

,利用海伦公式即得等价于
而因为
平方后即得
综上所述 , 不等式得证 .By these formulas

the inequality is equivalent to
which is第四题 数学吧 : http://tieba.baidu.com/p/1168567925
, 且
, 求证 :
已知
证明 : 用Jensen不等式 , 构造函数
, 然后设
.
第五题 数学吧 : http://tieba.baidu.com/p/1163998974
满足
, 求
的最小值 .
已知正实数
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=414104
第六题 数学吧 http://tieba.baidu.com/p/1163998974
满足
, 求证 :
正实数
第七题 数学吧 : http://tieba.baidu.com/p/1163998974
满足
, 求证 :
已知正实数
第八题 数学吧 : http://tieba.baidu.com/p/1171523887
满足
, 求证:
已知实数
证明1 : 如果
, 此时不等式左边非负 , 右边非正 , 不等式成立 .
, 由均值不等式 , 我们有
如果

其中用到了证明2 : 如果
, 此时不等式左边非负 , 右边非正 , 不等式成立 .
, 设
如果

其中
从而第九题 数学吧 http://tieba.baidu.com/p/1171951655
满足
, 求证:
已知正实数
see also:
http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/sxkj3/sxkj3ts/201105/t20110516_1041458.htm
http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/sxkj4/sxkj4ts/201106/t20110623_1050799.htm
(题目3.1.9)
第十题 数学吧 http://tieba.baidu.com/p/1171951655
, 求证 :
.
已知
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=64122