《Algebraic Inequalities II , Vasile Cirtoaje》上有 2 条评论

1. 第1题 设正实数$a,b,c$满足$abc=1$ , 求证 :

   $$\sqrt{\frac{a+b}{b+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+1}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+1}}\ge 3$$

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   • 证明 : 只需要证明

     $$(a+b)(b+c)(c+a)\ge (1+a)(1+b)(1+c)$$

     等价于

     $$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\ge a+b+c+ab+bc+ca$$

     由均值不等式有

     $$(a^2b+b)+(b^2c+c)+(c^2a+a)\ge 2(ab+bc+ca)$$

     $$(ab^2+bc)+(bc^2+ca)+(ca^2+ab)\ge 2(a+b+c)$$

     两式相加即得 .

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