《代数》上有 3 条评论

1. 第一题 QQ 星月汐语
   已知数列$\{a_n\}$满足$\displaystyle a_1=1,a_2=1,a_{n+1}=\frac{n^2a_n^2+5}{(n^2-1)a_{n-1}}$ , 试求$\{a_n\}$的通项公式 .

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   • 解 : 设$b_n=na_n$ , 于是$\displaystyle b_1=1,b_2=2,b_{n+1}b_{n-1}=b_n^2+5$ . 另外有$b_{n+2}b_{n}=b_{n+1}^2+5$ , 两者相减得

     $$b_{n+2}b_{n}-b_{n+1}b_{n-1}=b_{n+1}^2-b_{n}^2\Longrightarrow \frac{b_{n+2}+b_n}{b_{n+1}}=\frac{b_{n+1}+b_{n-1}}{b_n}$$

     于是$\displaystyle\frac{b_{n+2}+b_n}{b_{n+1}}=\frac{b_3+b_1}{b_2}=5$ , 后面的就是用特征根法求 , 略.

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2. 第二题 数学吧 http://tieba.baidu.com/p/1188404826
   设$a\in (1,2)$ , 求证 : 存在唯一确定的正整数数列$\{n_k\}$ , $k$从1到正无穷 , 满足$n_k>1 , n_k^2\le n_{k+1}$ , 使得$\displaystyle a=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n_k}\right)$ .

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