第一题 QQ 星月汐语 已知数列\(\{a_n\}\)满足\(\displaystyle a_1=1,a_2=1,a_{n+1}=\frac{n^2a_n^2+5}{(n^2-1)a_{n-1}}\) , 试求\(\{a_n\}\)的通项公式 . 回复 ↓
解 : 设\(b_n=na_n\) , 于是\(\displaystyle b_1=1,b_2=2,b_{n+1}b_{n-1}=b_n^2+5\) . 另外有\(b_{n+2}b_{n}=b_{n+1}^2+5\) , 两者相减得\[b_{n+2}b_{n}-b_{n+1}b_{n-1}=b_{n+1}^2-b_{n}^2\Longrightarrow \frac{b_{n+2}+b_n}{b_{n+1}}=\frac{b_{n+1}+b_{n-1}}{b_n}\]于是\(\displaystyle\frac{b_{n+2}+b_n}{b_{n+1}}=\frac{b_3+b_1}{b_2}=5\) , 后面的就是用特征根法求 , 略. 回复 ↓
第二题 数学吧 http://tieba.baidu.com/p/1188404826 设\(a\in (1,2)\) , 求证 : 存在唯一确定的正整数数列\(\{n_k\}\) , \(k\)从1到正无穷 , 满足\(n_k>1 , n_k^2\le n_{k+1}\) , 使得\(\displaystyle a=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n_k}\right)\) . 回复 ↓
第一题 QQ 星月汐语
已知数列\(\{a_n\}\)满足\(\displaystyle a_1=1,a_2=1,a_{n+1}=\frac{n^2a_n^2+5}{(n^2-1)a_{n-1}}\) , 试求\(\{a_n\}\)的通项公式 .
解 : 设\(b_n=na_n\) , 于是\(\displaystyle b_1=1,b_2=2,b_{n+1}b_{n-1}=b_n^2+5\) . 另外有\(b_{n+2}b_{n}=b_{n+1}^2+5\) , 两者相减得
\[b_{n+2}b_{n}-b_{n+1}b_{n-1}=b_{n+1}^2-b_{n}^2\Longrightarrow \frac{b_{n+2}+b_n}{b_{n+1}}=\frac{b_{n+1}+b_{n-1}}{b_n}\]
于是\(\displaystyle\frac{b_{n+2}+b_n}{b_{n+1}}=\frac{b_3+b_1}{b_2}=5\) , 后面的就是用特征根法求 , 略.第二题 数学吧 http://tieba.baidu.com/p/1188404826
设\(a\in (1,2)\) , 求证 : 存在唯一确定的正整数数列\(\{n_k\}\) , \(k\)从1到正无穷 , 满足\(n_k>1 , n_k^2\le n_{k+1}\) , 使得\(\displaystyle a=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n_k}\right)\) .