2012年数学奥林匹克不等式问题 2012年数学奥林匹克不等式问题 2011年数学奥林匹克不等式问题 2010年数学奥林匹克不等式问题 Algebraic Inequalities I , Vasile Cirtoaje Algebraic Inequalities II , Vasile Cirtoaje
第1题 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2552015&sid=ab8a8aeb9285b07d4d2baa3ed2894fee#p2552015 设 \(a,b,c>0\) 且 \(abc=1\) , 求证 :\[a^3+b^3+c^3+6\ge (a+b+c)^2\] 回复 ↓
证明 : 由Schur不等式有\[a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\ge \frac{1}{4}(a+b+c)^3\]因此只需证明\[(a+b+c)^3+9\ge 4(a+b+c)^2\]令\(x=a+b+c\) , 则\(x\ge 3\) , 此时\[x^3+9-4x^2=(x-3)(x^2-x-3)\ge 0\]证毕 . 回复 ↓
第1题 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2552015&sid=ab8a8aeb9285b07d4d2baa3ed2894fee#p2552015
设 \(a,b,c>0\) 且 \(abc=1\) , 求证 :
\[a^3+b^3+c^3+6\ge (a+b+c)^2\]
证明 : 由Schur不等式有
\[a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\ge \frac{1}{4}(a+b+c)^3\]
因此只需证明\[(a+b+c)^3+9\ge 4(a+b+c)^2\]
令\(x=a+b+c\) , 则\(x\ge 3\) , 此时\[x^3+9-4x^2=(x-3)(x^2-x-3)\ge 0\]
证毕 .