《2012年数学奥林匹克不等式问题》上有 2 条评论

1. 第1题 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2552015&sid=ab8a8aeb9285b07d4d2baa3ed2894fee#p2552015
   设 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$ , 求证 :

   $$a^3+b^3+c^3+6\ge (a+b+c)^2$$

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   • 证明 : 由Schur不等式有

     $$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\ge \frac{1}{4}(a+b+c)^3$$

     因此只需证明

     $$(a+b+c)^3+9\ge 4(a+b+c)^2$$

     令$x=a+b+c$ , 则$x\ge 3$ , 此时

     $$x^3+9-4x^2=(x-3)(x^2-x-3)\ge 0$$

     证毕 .

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