2011年第52届国际数学奥林匹克试题下载:

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2011年第52届国际数学奥林匹克试题解答下载

第一天，2011年7月18日，星期一

1.对任意由4个不同正整数组成的集合$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$，记$S_A=a_1+a_2+a_3+a_4$，设$n_A$是满足$a_i+a_j(1\le i<j\le 4)$整除$S_A$的数对$(i,j)$的个数．求所有由4个不同正整数组成的集合$A$，使得$n_A$达到最大值．

2.设$S$是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上．
所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过$S$中单独一点$P$的一条直线$\ell$开始，以$P$为旋转中心顺时针旋转，直至首次遇到$S$中的另一点，记为点$Q$．接着这条直线以$Q$为新的旋转中心顺时针旋转，直到再次遇到$S$中的某一点，这样的过程无限持续下去．
证明：可以适当选取$S$中的一点$P$，以及过$P$的一条直线$\ell$，使得由此产生的“风车”将$S$中的每一点都无限多次用作旋转中心．

3.设$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数$x$，$y$，都有

$f(x+y)\le yf(x)+f(f(x)).$

证明：对所有实数$x\le 0$，有$f(x)=0$．

第二天，2011年7月19日，星期二

4.给定整数$n>0$．有一个天平和$n$个重量分别为$2^0,2^1,\cdots,2^{n-1}$的砝码．现通过$n$步操作逐个将所有砝码都放上天平，使得在操作过程中，右边的重量总不超过左边的重量．每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至所有砝码都被放上天平．求整个操作过程的不同方法个数．

5.设$f$是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数$m$，$n$，差$f(m)-f(n)$能被$f(m-n)$整除．证明：对所有整数$m$，$n$，若$f(m)\le f(n)$，则$f(n)$被$f(m)$整除．

6.设锐角三角形$ABC$的外接圆为$\Gamma$，$\ell$是圆$\Gamma$的一条切线．记切线$\ell$关于直线$BC$，$CA$和$AB$的对称直线分别为$\ell_a$，$\ell_b$和$\ell_c$．证明：由直线$\ell_a$，$\ell_b$和$\ell_c$构成的三角形的外接圆与圆$\Gamma$相切．