例1.在柯西不等式中取$b_1=b_2=\cdots=b_n=1$,可以得

$\displaystyle a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\ge \frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2,$

$\displaystyle\sqrt{n(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)}\ge (a_1+a_2+\cdots+a_n).$

例2.已知$a,b,c>0$,求证:$\displaystyle\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2} .$

证明:利用例1中$n=2$的结论

$\displaystyle\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}(a+1-b),$

$\displaystyle\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}(b+1-c) ,$

$\displaystyle\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}(c+1-a) .$

三式相加即得$\displaystyle\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2} .$

例3.(Nessbit Inequality)已知$a,b,c>0$,求证:$\displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}.$
这个题又老又经典,作为均值不等式和柯西不等式的例题都快做烂了.
证明一:(直接用柯西不等式)由柯西不等式

$\displaystyle\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))\ge (a+b+c)^2$

$\Longrightarrow\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}$

因此只需要证明

$\displaystyle\frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}\ge \frac{3}{2}$

$\iff 2(a+b+c)^2\ge 3(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)).$

此即$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$.

证明二:(变形后用柯西)原不等式等价于

$\displaystyle\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac{9}{2}$

$\iff \displaystyle \frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge \frac{9}{2}$

$\iff \displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge \frac{9}{2}$

$\iff \displaystyle ((b+c)+(c+a)+(a+b))\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge 9$

由柯西不等式,上面的不等式成立.

例4.最常见的三角最值问题$x\in \mathbb{R},a,b>0$,求$a \cos x+b \sin x$的最大值与最小值.
分析:这个题目可以通过构造一个辅助角$\alpha$来利用积化和差变形成$\sqrt{a^2+b^2} \sin(x+ \alpha)$的形式,这里我们不采取这种方法,而是利用三角恒等式$\sin^2 x+\cos^2 x=1$.
解:注意到$\sin^2 x+\cos^2 x=1$,所以由柯西不等式

$(a \cos x+b \sin x)^2\le (\sin^2 x+\cos^2 x)(a^2+b^2)=a^2+b^2$

可得

$-\sqrt{a^2+b^2}\le a \cos x+b \sin x \le \sqrt{a^2+b^2}$

当$\displaystyle\sin x=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos x=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$时,$a \cos x+b \sin x$取最大值$\sqrt{a^2+b^2}$.
当$\displaystyle\sin x=\frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}},\cos x=\frac{-a}{\sqrt{a^2+b^2}}$时,$a \cos x+b \sin x$取最小值$-\sqrt{a^2+b^2}$.

 

例5.(2003联赛)设$\displaystyle\frac{3}{2}\le x\le 5$,证明:$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}.$

证明:取$a,b\in \mathbb{R}^+$,且满足$a+2b=3$,则由柯西不等式得

$\begin{aligned} &\left(2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}\right)^2 \\ \le & \left(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+1\right)(a(x+1)+b(2x-3)+(15-3x))\end{aligned}$

于是

$\displaystyle2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}\le \sqrt{\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+1\right)(a-3b+15)}$

取$\displaystyle a=\frac{7}{5},b=\frac{4}{5}$则得$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}.$

例6.若正实数$x,y,z$满足$x^2+y^2+z^2=1$.求证:

$\displaystyle\frac{x^2}{1+9yz}+\frac{y^2}{1+9zx}+\frac{z^2}{1+9xy}\ge \frac{1}{4}.$

证明:由柯西不等式的变形,我们立即可以得到

$\displaystyle\frac{x^2}{1+9yz}+\frac{y^2}{1+9zx}+\frac{z^2}{1+9xy}\ge \frac{(x+y+z)^2}{3+9(xy+yz+zx)},$

于是只需要证明

$\displaystyle\frac{(x+y+z)^2}{3+9(xy+yz+zx)}\ge \frac{1}{4},$

这等价于

$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx,$

明显成立.

例7.求证:

$\frac{4}{1}+\frac{4^2}{2}+\cdots+\frac{4^n}{n}>\frac{32(2^n-1)^2}{(2n+1)^2}.$

证明:由柯西不等式,我们有

$\displaystyle\left(\frac{4}{1}+\frac{4^2}{2}+\cdots+\frac{4^n}{n}\right)(1+2+\cdots+n)\ge (2+2^2+\cdots+2^n)^2,$

于是得到

$\Longrightarrow\displaystyle\frac{4}{1}+\frac{4^2}{2}+\cdots+\frac{4^n}{n}\ge \frac{8(2^n-1)^2}{n(n+1)},$

因此只需要证明

$\displaystyle\frac{8(2^n-1)^2}{n(n+1)}>\frac{32(2^n-1)^2}{(2n+1)^2},$

这等价于$(2n+1)^2>4n(n+1)$明显成立.