如果[latex]x_1,x_2,\cdots,x_n[/latex]为非负实数, 那么有

[latex]\displaystyle\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n},[/latex]

等号成立当且仅当[latex]x_1=x_2=\cdots=x_n[/latex].

证明1:(数学归纳法)当[latex]n=2[/latex]时, 显然成立.
假设当[latex]n=k[/latex]时, 不等式成立, 那么当[latex]n=k+1[/latex]时, 令[latex]S_k=\sqrt[k+1]{x_1x_2\cdots x_{k+1}}.[/latex]
由归纳假设\[\begin{align}&x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}+(k-1)S\\=&(x_1+x_2+\cdots+x_{k})+(x_{k+1}+S+\cdots+S)\\\ge & k\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}+k\sqrt[k]{x_{k+1}S^{K-1}}\\\ge & 2k\sqrt[2k]{x_1x_2\cdots x_{k}x_{k+1}S^{K-1}}=2kS,\end{align}\]所以[latex]x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}\ge (k+1)\sqrt[k+1]{x_1x_2\cdots x_{k+1}}.[/latex]

证明2:为此先看一个引理
设[latex]s,t[/latex]为正数, [latex]n[/latex]为正整数, 那么

[latex]s^{n+1}+nt^{n+1}\ge (n+1)t^ns.[/latex]

引理的证明:注意到[latex]s[/latex], [latex]t[/latex]与[latex]s^k[/latex], [latex]t^k(1\le k\le n)[/latex]同序, 所以

[latex](s-t)(s^k-t^k)\ge 0.[/latex]

于是\[\begin{aligned}&s^{n+1}+nt^{n+1}-(n+1)t^ns\\=&s\left(s^n-t^n\right)+nt^n(t-s)\\=&(s-t)\left(\left(s^n-t^n\right)+\left(s^{n-1}-t^{n-1}\right)t+\cdots+\left(s-t\right)t^{n-1}\right)\\\ge &0.\end{aligned}\]回到原题, 由归纳法只要能够证明\[\begin{aligned}&x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}-(n+1)\sqrt[n+1]{x_1x_2\cdots x_{n+1}}\\\ge & x_1+x_2+\cdots+x_n-n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n}},\end{aligned}\]即证明

[latex]x_{n+1}+n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n}}\ge (n+1)\sqrt[n+1]{x_1x_2\cdots x_{n+1}}.[/latex]

设[latex]x_1x_2\cdots x_{n}=t^{n(n+1)}[/latex], [latex]x_{n+1}=s^{t+1}[/latex], 那么上述不等式转化为

[latex]s^{n+1}+nt^{n+1}\ge (n+1)t^ns,[/latex]

由引理知成立.