如果$x_1,x_2,\cdots,x_n$为非负实数, 那么有

$\displaystyle\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n},$

等号成立当且仅当$x_1=x_2=\cdots=x_n$.

证明1:(数学归纳法)当$n=2$时, 显然成立.
假设当$n=k$时, 不等式成立, 那么当$n=k+1$时, 令$S_k=\sqrt[k+1]{x_1x_2\cdots x_{k+1}}.$
由归纳假设

$$\begin{align}&x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}+(k-1)S\\=&(x_1+x_2+\cdots+x_{k})+(x_{k+1}+S+\cdots+S)\\\ge & k\sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_{k}}+k\sqrt[k]{x_{k+1}S^{K-1}}\\\ge & 2k\sqrt[2k]{x_1x_2\cdots x_{k}x_{k+1}S^{K-1}}=2kS,\end{align}$$

所以$x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}\ge (k+1)\sqrt[k+1]{x_1x_2\cdots x_{k+1}}.$

证明2:为此先看一个引理
设$s,t$为正数, $n$为正整数, 那么

$s^{n+1}+nt^{n+1}\ge (n+1)t^ns.$

引理的证明:注意到$s$, $t$与$s^k$, $t^k(1\le k\le n)$同序, 所以

$(s-t)(s^k-t^k)\ge 0.$

于是

$$\begin{aligned}&s^{n+1}+nt^{n+1}-(n+1)t^ns\\=&s\left(s^n-t^n\right)+nt^n(t-s)\\=&(s-t)\left(\left(s^n-t^n\right)+\left(s^{n-1}-t^{n-1}\right)t+\cdots+\left(s-t\right)t^{n-1}\right)\\\ge &0.\end{aligned}$$

回到原题, 由归纳法只要能够证明

$$\begin{aligned}&x_1+x_2+\cdots+x_n+x_{n+1}-(n+1)\sqrt[n+1]{x_1x_2\cdots x_{n+1}}\\\ge & x_1+x_2+\cdots+x_n-n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n}},\end{aligned}$$

即证明

$x_{n+1}+n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n}}\ge (n+1)\sqrt[n+1]{x_1x_2\cdots x_{n+1}}.$

设$x_1x_2\cdots x_{n}=t^{n(n+1)}$, $x_{n+1}=s^{t+1}$, 那么上述不等式转化为

$s^{n+1}+nt^{n+1}\ge (n+1)t^ns,$

由引理知成立.