空念数学杂志——2012年第1卷第12期

最近病魔缠身,所以先发上原稿,等录好LaTeX版再换掉.

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无觅

暂时没什么人发题........有了再说,先占位

2、乒乓球队有n个队员，在一次集训中，每两个队员之间恰好搭档过一次，求n的所有可能值并每个n给一种比赛方案。忘了说了，是双打

3、已知fn(x)=1+x+x^2/2!+......+x^n/n! (n=1,2,3......)求证当n为偶数fn(x)=0时无解，n为奇数时fn(x)=0有唯一解Xn且X(n+2)<Xn。

4、已知锐角三角形ABC，BE垂直AC于E,CD垂直AB于与D,BC=25，CE=7，BD=15。BE,CD交于点H,连接DE,以DE为直径画圆，圆AC交于另一点F，求AF。

5、P在y轴上投影为H，A（-2,0），B（2,0），AP·BP=2PH（模的平方），（如果没记错的话），第一问求p的轨迹，第二问：已知一直线过B点且与曲线交于x轴下两点，求这两点的中点与Q（0，-2）连成的直线斜率取值范围

6、(1-ω)/(1+ω)实数部为0,设点为1/(1+ω) ,则其轨迹为

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空念数学杂志——2012年第1卷第10期

此解答仅收录上述4题解答

用归纳法证 $f_{2n-1}(x)=0$ 有唯一解 $x_{2n-1}$ 且严格单调递增 , $f_{2n}(x)=0$ 无实数解 . 显然 $n=1$ 时 , 此时 $f_1(x)=1+x$ 有唯一解 $x_1=-1$ 且严格单调递增 , 而 $\displaystyle f_{2}{x}=1+x+\frac{x^2}{2}$ 无实数解 . 现在假设 $f_{2n-1}(x)=0$ 有唯一解 $x_{2n-1}$ 且严格单调递增 , $f_{2n}(x)=0$ 无实数解 . 于是注意到 $f'_{2n+1}(x)=f_{2n}(x)$ , $f_{2n}(x)=0$ 无实数解 , 所以 $f_{2n}(x)>0$ 恒成立  , 因此 $f_{2n+1}(x)$ 严格递增 . 又因为在 $x=-2n-1$ 时 , 此时对任意的 $0\le k\le n$ 有 $x+2k+1\le 0$ , 于是

$$\begin{aligned}f_{2n+1}(-2n-1)=&\sum_{k=0}^n\left(\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)\\ =&\sum_{k=0}^n \frac{x^{2k}}{(2k+1)!}(x+2k+1)<0~.\end{aligned}$$

$$\min_{x\in\mathbb{R}}f_{2n+2}(x)=f_{2n+2}(x_{2n+1})=f_{2n+1}(x_{2n+1})+\frac{x_{2n+1}^{2n+2}}{(2n+2)!}=\frac{x_{2n+1}^{2n+2}}{(2n+2)!}>0~,$$

$$\begin{aligned}f_{2n-1}(x_{2n+1})=&-\dfrac{x_{2n+1}^{2n}}{(2n)!}-\dfrac{x_{2n+1}^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ =&-\dfrac{x_{2n}^{2n+1}}{(2n+1)!}(x_{2n+1}+2n+1)<0~,\end{aligned}$$

空念数学杂志——2012年第1卷第9期

纯试题下载 | 2012年北约自主招生数学试题

(数学中国翻译)

你的组织，银河犯罪建模中心（ICM），正在调查一个实施犯罪行为的阴谋。调查人员现在非常有信心，他们已经知道策划阴谋的一些成员，但是他们希望在逮捕嫌疑人之前确定其它的犯罪成员和组织的领导人。所有的嫌疑人和可能涉嫌的同谋都受雇于同一家公司，在一个大的综合办公室里工作。该公司发展迅速，正在开发和销售以自己的名字命名的计算机软件，该软件是为银行和信用卡公司服务的。ICM最近从公司的一组员工（有82人）那里获得了一些消息，他们认为这将帮助他们找到最有可能的未知身份的同谋者和组织领导人。由于公司中的所有员工都知晓该消息，所以一些消息的传播者（有可能很多）并没有卷入阴谋。事实上，他们可以确定有一些人没有卷入阴谋。建模工作的目标是确定在综合办公室里面的人谁最有可能是同谋者。一个优先级列表是最理想的，ICM可以按照优先级调查、监视或者审问最有可能的嫌疑人。一个判别是否为同谋人的分界线也是非常有用，可以用它来对各组人进行分类。对于检方来讲，如果模型能够识别出阴谋策划的领导人也是非常有帮助的。在你的犯罪建模团队获得当前案件的数据之前，你的上司给了你们下面的一些场景（被称作调查EZ），这些场景是几年前她在其他城市工作时遇到的。尽管她对她在EZ案件上的工作非常自豪，她仍然谦虚地说那是一个小的、简单的案例，但它可以帮助你了解你的任务。她的数据如下：

她考虑为同谋者的十个人分别为：Anne#， Bob， Carol， Dave*， Ellen， Fred，George*， Harry， Inez， and Jaye#。（*号表示事先已知是同谋者，#号表示事先已知为非同谋者）
下面是28条消息的列表，这些消息是在她的案件中获得的，每条消息后面有一个标号，这个标号反映了她对于消息的主题的分析。
安妮对鲍勃说：为什么你今天迟到了？（1）
鲍勃对卡罗尔说:  这该死的安妮总是看着我。我没有迟到。（1）
卡罗尔对戴夫说: 对于鲍勃的迟到，安妮和鲍勃有争执。（1）
戴夫对艾伦说：我需要今天早晨看见你。什么时间你能来？把预算文件带来。（2）
戴夫对弗雷德说：今天我随时都可以来见你。如果时间合适就告诉我。我应该把预算文件带上吗？（2）
戴夫对乔治说：我之后要见你---有很多话要说。我希望其他人做好准备。重要的是要得到这个权利。（3）
哈里对乔治说：你似乎在强调。这是怎么回事？我们的预算很优秀。（2）（4）
伊内兹对乔治说：我今天真的感觉很累。你感觉怎么样？（5）
杰伊对伊内兹说：今天没有太多事可做。去吃午餐怎么样？（5）
伊内兹对杰伊说：好想法，但是我筋疲力尽了，不能做午餐了，对不起！（5）
乔治对戴夫说：谈话时间，现在！（3）
杰伊对安妮说：你今天能去吃午餐吗？（5）
戴夫对乔治说：我不能。我要在回家的路上去看弗雷德。（3）
乔治对戴夫说：那之后到这。（3）
安妮对卡罗尔说：谁应该去看看鲍勃？他正在消磨时间。（1）
卡罗尔对安妮说：别理他。他和乔治、戴夫相处的很好。（1）
乔治对戴夫说：这是非常重要的。该死的弗雷德。艾伦如何？（3）
艾伦对乔治说：你和戴夫谈话了？（3）
乔治对艾伦说：还没有。你呢？（3）  
鲍勃对安妮说：我没有迟到。我要让你知道---午餐时间我也在工作。（1）
鲍勃对戴夫说：告诉他们我没有迟。你知道的。（1）
艾伦对卡罗尔说：去找安妮，弄清楚下周预算会议的具体日程，并且帮助我让乔治冷静一下。（2）
哈里对戴夫说：你没有注意到今天乔治又压力很大？（4）
戴夫对乔治说：该死的哈里认为你压力很大。不要让他担心或者别让他察觉。（4）
乔治对哈里说：仅仅是因为工作太晚了，家里也出了点问题。我很好。（4）
艾伦对哈里说：如果我错过了今天的会议，一切还会都好吗？弗雷德在会议上，他知道的预算比我做的好。（2）
哈里对弗雷德说：我认为明年的财政预算案使一些人压力很大。也许我们应该花些时间来让人们放心。（2）（4）
弗雷德对哈里说：我认为我们的预算是非常健康的。我没有看到任何压力。（2）
消息流完毕。
你的上司指出，她分配并编码了仅仅5种不同的消息主题：1）鲍勃的迟到，2）预算，3）重要但未知的问题，被认为是阴谋的一部分，4）乔治的压力，5）午餐和其他社会问题。正如所看到的消息编码，一些消息因为其内容被和两个主题联系在了一起。

    你的上司分析情况采用的方法是一个网络，它显示了消息的通讯连接情况和消息的类型。下图是一个消息网络模型，网络图上注明了消息类型的代码。

图1：EZ案件的消息网络:
你的上司指出，除了已知的同谋乔治和戴夫，根据她的分析，艾伦和卡罗尔分别被因为同谋起诉，后来鲍勃自己认罪，被判处减刑。但对卡罗尔的起诉后来被撤销了。你的上司仍然坚信伊内兹参与其中，但对于她的诉讼始终没能成立。你的上司给你们团队建议，一定要明确人群中有罪的一部分人，像伊内兹这样的人不能漏网，像卡罗尔这样的人也不能被错误地起诉，并且ICM得到证据，像鲍勃这样的人就没有机会获得减刑。
目前情况下，你的上司已经得到了一个网络形式的数据库，它有着相同的结构，但是在规模上稍大一些。有一些迹象表明,一个阴谋正在从公司挪用资金，并且使用网络欺诈窃取与公司做生意的的人的信用卡内的资金。她给你示范了一个小例子，在EZ情况下只有10个人（节点），27条边（信息），5个主题，一个可疑的/阴谋的主题，2个已知的同谋者，还有2个已知的非同谋者。     目前，这个新的情况下，有83个节点，400条边（其中一些包含不止一个主题），超过21000个字符的信息传输，15个主题（3个被视为是可疑的），7个是已知的同谋者，还有8个已知的非同谋者，数据在给出的附件：Names.xls, Topics.xls，Messages.xls和Names.xls中，names.xls包含办公室员工的姓名，和节点的数目一样。topics.xls包含了15个主题的代码和简短描述。由于安全和隐私的问题，你的团队将不能得到所有信息流的副本。messages.xls提供链接节点的，用来传递信息的边，信息中包含数字代码。一些信息包含了三个主题。为了可视化信息流动，对于人和信息传播的网络模型如图2所示。图上没有像图1一样标注消息的主题。这些主题的编号在文件Messages.xls中给出，主题描述在Topics.xls中给出。

图2：可视化的网络模型，包含83个人（节点）和400条他们之间的信息（边）

要求：
要求一： 目前，已知Jean， Alex， Elsie， Paul， Ulf， Yao， 和Harvey是同谋者，还知道Darlene， Tran， Jia， Ellin， Gard， Chris， Paige， 和Este不是同谋者。3个已知的可疑信息主题为7，11和13.更多的主题细节请见附件Topics.xls。根据83个节点为阴谋的可能性的大小，建立一个模型和算法对可能性大小进行排序，并说明你的模型及流程。Jerome， Delores和Gretchen是公司的高级管理人员，如果能知道他们中的任何一个是否参与了这个阴谋将是十分有用的。 要求二： 如果得到新的消息，主题一和阴谋有关，且Chris是同谋者之一，请问要求一中的排序会是什么样子的？ 
要求三： 和这个消息传输类似的一种强大的用来获得和理解文本信息的技术被称为语义网消息传输分析。作为一个在人工智能和计算语言学的方法，它为知识推理和语言提供了一个结构和过程。另一种在自然语言处理能力方面的计算语言学叫做文本分析。在我们的犯罪现场破坏条件下，解释语义和文本内容的分析和消息传输的背景(如果你能获得原始信息)能使您的团队开发更好的关于办公室人员的模型和归类。你是否在文件Topics.xls中有使用这些功能来进行主题描述，从而提升你的模型? 
要求四： 你完成的报告最终将送给检察官，所以报告中必须详细的，清晰的陈述你的假设和方法论。但是报告不能超过20页。你可以在分开的文件中包含你的程序作为附录， 附录不算在你的页数内，但这些附录不是必要的。你的上司希望ICM在解决白领，高技术的阴谋犯罪方面是世界上最好的。希望你提供的方法将有助于解决世界各地重大案件，尤其是那些拥有非常大消息传输的数据库(成千上万的人，成千上万的信息，可能数百万字)。她特别要求你在报告中要包含可以帮助你的信息模型和建议的讨论如何更深入的网络、语义和文本内容的分析的内容。作为你向她报告的一部分，说明你使用的网络建模技术，和你为什么使用它以及如何使用它在任何类型的网络数据库用来识别，优先和分类相似节点，而不仅仅是犯罪阴谋和信息数据。 例如，在得到节点感染概率和部分已经确认感染节点的各种图像或化学数据的生物网络中，你的方法能否找到感染或患病的细胞的位置？ 

*你提交的ICM论文应该包含一页摘要和不超过20页的解决方案，总计不超过21页。

转自[数学中国]http://www.madio.net/thread-133714-1-1.html

(数学中国翻译)

        游客在“大长河”(225英里)可以享受到秀丽的风光和令人兴奋的白色湍流。这条河对于背包客来说是进不去的， 因此畅游这条长河的唯一办法就是在这条河上露营上几天。这次旅行从开始的下水点到最终结束点，共225英里，且是顺流而下的。乘客可以选择平均4英里/小时的以浆作为动力的橡胶筏或者平均8英里/小时的机动帆船旅行。整个旅行从开始到结束会经历6至18个夜晚。负责管理这条河的政府机构希望到这里的每一次旅行都能够享受到野外经历， 以最少的接触到在河上其它的船只。目前， 每年在六个月期间(一年的其余部分的天气对于河流旅行来说太冷)，共有X次旅行，有Y处露营地，露营地均匀的分布整个河道。由于漂流的受欢迎程度的上升，公园管理者已经被要求允许更多的旅行次数。所以他们想确定怎样可能安排一个最优的混合的旅行方案，不同的时间(单位为夜)和推动方式(马达或浆)，最大限度的利用露营地。换句话说，在长河的漂流季，将会有多少更多的乘船旅行可以加进来?河流的管理者现在雇佣你，为他们提出最佳排程方式和河流承载能力的建议，记住两个露营者不能在同一时间内占据同一个露营地。除了你的一页摘要，准备一页备忘录，对河流的管理者描述你的主要发现。

转自[数学中国]http://www.madio.net/thread-133694-1-1.html

（数学中国翻译）

“一棵树的叶子有多重？”怎么能估计树的叶子（或者树的任何其它部分）的实际重量？怎样对叶子进行分类？建立一个数学模型来对叶子进行描述和分类。模型要考虑和回答下面的问题：
• 为什么叶子具有各种形状？
• 叶子之间是要将相互重叠的部分最小化，以便可以最大限度的接触到阳光吗？树叶的分布以及树干和枝杈的体积影响叶子的形状吗？
• 就轮廓来讲，叶形（一般特征）是和树的轮廓以及分枝结构有关吗？
• 你将如何估计一棵树的叶子质量？叶子的质量和树的尺寸特征（包括和外形轮廓有关的高度、质量、体积）有联系吗？

除了你的一页摘要以外，给科学杂志的编辑写一封信，阐述你的主要发现。

转自[数学中国]http://www.madio.net/thread-133692-1-1.html

空念数学杂志——2012年第1卷第8期