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1. 将数列 $\{x_n\}$ 处于平方位置的项所构成的子数列$x_1,x_4,x_9,\cdots,x_{k^2},\cdots$ , 称为数列 $\{x_n\}$ 的"平方子列" . 今从正整数数列 1,2,3,4,... 中 , 删去其平方子列 , 在剩下的项所构成的数列 2,3,5,6,7,8,10,... 中 , 再次删去其平方子列 . 如此继续 , 第 $m$ 次删去的平方子列中的第 $n$ 项为 $f(m,n)$ .
   (1) 求 $f(m,n)$ 的表达式 ;
   (2) 求正整数 $m,n$ , 使得 $f(m,n)=2012$ .
2. 一次体育比赛共设有 $2n(n\ge 2)$ 个项目 , 每个选手恰好报名参加其中的两个项目 , 而任两个人至多有一个相同的项目 , 假定对于每个 $k\in \{1,2,\cdots,n-1\}$ , 不超过 $k$ 人报名的项目少于 $k$ 个 .
   证明 : 存在 $2n$ 个选手 , 使得每个项目都恰好有其中的两人参加 .
3. 沿着凸多面体的每一个面的周界上都有一只苍蝇在爬行 (有多少个面 , 就有多少只苍蝇) , 并且都按照顺时针方向在各自的面上沿边界绕行 . 现已知 , 在任何时候他们的速度都不小于 1 (厘米/小时) .
   证明 : 或迟或早必有某两只苍蝇会相撞 .
4. 对于直线上的两个点集 A 和 B , 如果 A 能经过适当平移后重合于 B , 则说这两个点集是相等的 ; 试确定 , 闭区间 [-1,1] 能否分解成两个互不相交的相等的点集 ?
5. 设 A 为正整数 , $0,a_0a_1a_2\cdots$ 是 $\displaystyle\frac{1}{A}$ 的二进制小数表示 (其中 $a_i$∈{0,1},i=1,2,...) , 从其小数点后任意截取一段相继位置上的数字 , 所得到的一个二进制整数 , 称为 $\displaystyle\frac{1}{A}$ 的一个 "截段" . (例如 , 对于 $\displaystyle\frac{1}{3}$ 的二进制小数表示 0.010101... 而言 , 数 5 的二进制表示 101 或 0101 便是其 "截段" ) .
   试求最小的正整数 A , 使得不大于 2008 每个正整数的二进制表示 , 都是 $\displaystyle\frac{1}{A}$ 的一个 "截段" .

转自宋庆老师博客 : http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c1131020100yh0v.html

1. 陈景文,北京人大附中
2. 吴昊,辽宁师大附中
3. 左浩,华中师大一附中
4. 佘毅阳,上海中学
5. 刘宇韬,上海中学
6. 王昊宇,武钢三中

北京、湖北、上海实力依旧恐怖,湖南、广东已然没落.

1. 我们考虑如下变换 $T$ : 对于由三个正整数作成的有序组 $X=(x,y,z)$ , 变换 $T$ 将其变成三个新的正整数有序组 : $T(X)=X_1=(x_1,y_1,z_1)$ . 其中 $T(X)$ 取值规则为如下 :\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z) & \text{if}~x<y-z\\ (2y-x,y,x-y+z) & \text{if}~ y-z\le x\le 2y \\ (x-2y,x-y+z,y) & \text{else}\end{cases}请利用变换 $T$ 证明费马两平方和定理 : 若 $p=4n+1$ 是一个质数 , 则存在正整数 $a,b$ 使 $a^2+b^2=p$ .
2. 若简单图 $G$ 有 $2n+1$ 个顶点 , 至少 $3n+1$ 条边 $(n\ge 2)$ , 证明 : 图 $G$ 中必有偶圈 .
3. 设 $G$ 是 $n$ 阶图($n\ge 5$) , 其边数 $e\ge n+4$ , 证明 : 在图 $G$ 中存在两个无公共边的圈 .
4. 设正整数 $m>2$ , 若正整数 $a$ 与 $m$ 互质 , 且 $m>a>1$ , 就称 $a$ 是 $m$ 的 "本原互质数" . 例如 10 的"本原互质数"为 3,7,9 , 其中 3,7 为质数 , 而 9 不是质数 . 12 的 "本原互质数" 为 5,7,11 , 它们都是质数 . 一般地说 , 若正整数 $m>2$ 的所有"本原互质数"构成一个非空的质数集 , 就称 $m$ 是单纯数 , 例如 12 就是单纯数 . 试求全体单纯数 .
5. 将 0,1,2,3,4,,5,6,7,8,9 这是个原生数字分别填写于正五角星的十个交点处 , 使得五角星的每条线段上的四个数之和都是 9 的倍数 ,并且经过外环五点、内环五点所得到的两个圆周上的五数之和也都是 9 的倍数 , 称这样的填数图形为一个 "五行轮" ; 例如下图便是一个 "五行轮" .
   我们将经过空中翻转或旋转移动后能够重合的 "五行轮" 认为是本质相同的 , 求本质不同的 "五行轮" 的个数 .

资料来源宋庆老师博客:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c1131020100yh0u.html

1. 已知 $a,b,c\ge 0$ , 求证 :

   $$3\sum_{cyc}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\sum a+\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{a+b}~.$$

2. 设 $a,b,c,d>0$ 且满足 $\displaystyle \frac{1-a}{a}+\frac{1-b}{b}+\frac{1-c}{c}+\frac{1-d}{d}\ge 0$ , 求证 :

   $$a(1-b)+b(1-c)+c(1-d)+d(1-a)\ge 0~.$$

3. 若正整数 $n\ge 4$ , 证明 : $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^n (-1)^k\left\{\frac{n}{k}\right\}\right|\le 3\sqrt{n}$ .
4. 空间中是否存在一个无限点集 , 它在每个平面上都至少有一点 , 但都没有无穷多个点 ?
5. 给定平面上 $n$ 个点 , $n>4$ . 是否可以用 "箭头" 连结这些点 (每两点之间只过一个箭头) , 使得从每一个点沿一个箭头或两个箭头 , 可以到达其余的任何一个点 ?
6. 在平面上的所有格点赋有一个实数 , 满足 : 每个格点上的数都是与其相邻四个格点上数的算术平均数 , 若所有这样的数有界 . 求证 : 所有格点上赋有的数均相等 . 能否将结论推广到 $n$ 维呢 ?
7. 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为正实数且 $r$ 为有理数 , 试求 : 能使得命题 "存在无穷多个正整数 $m$ , 满足 $\displaystyle \frac{[m\alpha]}{[m\beta]}=r$ " 成立的充要条件 .
8. 设 $(b_1,b_2,\cdots,b_{2n})$ 为数组 $(1,2,\cdots,2n)$ 的一个置换 , 且满足 :

   $$(|b_2-b_1|,|b_3-b_2|,\cdots,|b_{2n}-b_{2n-1}|)$$

   为数组 $(1,2,\cdots,2n-1)$ 的一个置换 . 求证 : 集合 $\{b_1,b_2,\cdots,b_{2n}\}=\{1,2,\cdots,n\}$ 的充要条件为 $|b_1-b_{2n}|=n$ . (应该有错误,去看下能不能修正)
9. 求证 : $\displaystyle a_n=\sum_{m=1}^n\left(\left\{\frac{n}{m}\right\}-\frac{1}{2}\right)$ 中至多有限项非负 .
10. 已知数列 $\{a_n\}_{n\ge 1}:a_n=2^n\cdot n^2+1,n\in\mathbb{N}^+$ , 试求所有素数 $p$ , 使得对于任意正整数 $n$ , 具有 $p$ 不整除 $a_n$ .
11. 集合 $S$ 定义如下 : $S=\{p|p$ 为素数 , 且存在 $n\in\mathbb{N}^+$ , 使得 $p|2^{n^2+1}-3^n\}$ , 证明 : 集合 $S$ 是无限集 ; 不属于集合 $S$ 的正整数有无穷多个 .  (感觉有误,第二问不是废话吗)

资料来源宋庆老师博客http://blog.sina.com.cn/sqing

1. 已知正实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ , 证明 :

   $$\sum_{cyc}\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\ge 1~.$$

2. 已知 $n\in\mathbb{N}^+,n\ge 3$ , 非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i=1$ , 这里 $x_{n+1}=x_1$ , 证明 :
   (1) $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{(n-2)x_i+x_{i+1}}{1-x_i^2}\ge \frac{n^2}{n+1}$ ;
   (2) $\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{x_i+x_{i+1}}{1-x_i^2}\ge\frac{2n^2}{n^2-1}$ .
3. 已知 $n\in\mathbb{N}^+,n\ge 3$ , 实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 满足

   $$x_n>x_{n-1}>\cdots>x_2>x_1~,$$

   证明 :

   $$\frac{n(n-1)}{2}\sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j>\left(\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)x_i\right)\left(\sum_{j=2}^{n}(j-1)x_j\right)~.$$

4. 已知 $n\in\mathbb{N}^+,n\ge 2$ , 正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足

   $$a_i^2+a_{i+1}^2\le 1(i=1,2,\cdots,n-1)~,$$

   求 $\displaystyle \sum_{i=1}^na_i$ 的最大值 .
5. 已知 $x,y,z>0$ 且 $xyz=1$ , 求

   $$(x+y+z)\left(6-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)$$

   的最大值 .
6. 已知 $m,n$ 为整数 , 且 $n>m>1$ , 如果 $0\le x_1\le x_2\le \cdots\le x_n$ 及 $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i=1$ , 求 $\displaystyle\sum_{i=1}^m x_i^2$ 的最大值 .
7. 已知正实数 $x_1,x_2,x_3,\cdots$ 满足 $\displaystyle x_n^n=\sum_{j=0}^{n-1}x_n^j,$ 其中 $n=1,2,3,\cdots$ . 证明 : 对一切正整数 $n$ , 都有 $\displaystyle 2-\frac{1}{2^{n-1}}\le x_n<2-\frac{1}{2^n}$ .
8. 已知实数 $a,b,c,x,y,z$ 满足

   $$(a+b+c)(x+y+z)=3~,$$

   $$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4~.$$

   证明 : $ax+by+cz\ge 0$ .
9. 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$ , 证明 :

   $$\frac{a}{\sqrt{b^2+c}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+a}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b}}\ge\frac{3}{2}~.$$

10. 已知 $n\in\mathbb{N}^+,n\ge 2$ , 非负实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足

    $$a_1\ge a_2\ge \cdots\ge a_n~,~\sum_{i=1}^n a_i=1~,$$

    求 $a_1a_2^2+a_2a_3^2+\cdots+a_{n-1}a_n^2+a_na_1^2$ 的最大值 .

下载链接 | 第53届国际数学奥林匹克中国国家队选拔集训讲座之二

资料来源于宋庆老师的博客 http://blog.sina.com.cn/sqing

资料来源于宋庆老师的博客 http://blog.sina.com.cn/sqing

资料来源[宋庆老师新浪博客]:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c1131020100ydb8.html