《2012年北京大学保送生测试数学试题及参考解答》上有 8 条评论

1. 第一题:设 \(k=a_1+a_2\) , 则 \(a_3+a_4=q^2k\) , 因此\[5=a_3+a_4-a_1-a_2=(q^2-1)k\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{5}{q^2-1}\]由题意 \(k>0\) , 所以 \(q^2-1>0\) , 因此由均值不等式有\[\begin{aligned}a_5+a_6=&q^4k=\frac{5q^4}{q^2-1}=5\left(q^2+1+\frac{1}{q^2-1}\right)\\ =&5\left(q^2-1+\frac{1}{q^2-1}\right)+10\\ \ge & 5\cdot 2\sqrt{(q^2-1)\cdot\frac{1}{q^2-1}}+10\\ =&10+10=20\end{aligned}\]当 \(a_1=5(\sqrt{2}-1),q=\sqrt{2}\) 时 , 易验证此时 \(a_5+a_6=20\) , 因此最小值为 20 .

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2. 第二题:反设 \(f(a)\ne a\) , 则可设 \(a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))\) 的公比为 \(q\) , 显然 \(q\ne 1\) . 此时有\[f(a)-qa=0\quad\Longrightarrow\quad f(x)-qx=k(x-a)(x-b)~,\]其中 \(k,b\) 待定 , 且\(k\ne 0\) . 此时 \(f(f(x))-qf(x)=k(f(x)-a)(f(x)-b)\) , 而 \(f(f(a))=qf(a)\) , 所以\[0=f(f(a))-qf(a)=k(f(a)-a)(f(a)-b)~.\]因为 \(f(a)\ne a\) , 所以 \(f(a)-b=0\) , 即 \(b=qa\) , 因此 \[f(x)-qx=k(x-a)(x-qa)~.\] 又因为 \(f(f(f(a)))=qf(f(a))\) , 所以\[\begin{aligned}0=&f(f(f(a)))-qf(f(a))=k(f(f(a))-a)(f(f(a))-qa)\\=&k(q^2a-a)(q^2a-qa)\end{aligned}\]因为 \(a,q>0,k\ne 0\) 且 \(q\ne 1\) , 所以上式不可能成立 , 矛盾 . 因此 \(f(a)=a\) .

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3. 第3题
   
   由于内接正方形的顶点都在三角形三边上 , 那么必然有两相邻顶点位于同一边上 . 于是由对称性 , 我们先考虑相邻两顶点在边 \(BC\) 边上的情形 , 此时正方形的位置如图所示 , 下面求正方形 \(XYZW\) 的边长 ,设之为 \(x\) . 作高 \(AD\bot BC\) 于 \(D\) , 则 \(AD=c\sin B\) . 因为 \(WX\) 平行于 \(AD\) , 所以\[\frac{BW}{BA}=\frac{WX}{AD}=\frac{x}{c\sin B}~;\]又因为 \(WZ\) 平行于 \(BC\) , 所以\[\frac{AW}{AB}=\frac{WZ}{BC}=\frac{x}{a}.\]因此\[1=\frac{BW}{BA}+\frac{AW}{AB}=\frac{x}{c\sin B}+\frac{x}{a}~\Longrightarrow~x=\frac{ac\sin B}{a+c\sin B}.\]同理可得相邻两顶点在其它二边上时内接正方形的边长为 \[\frac{ba\sin C}{b+a\sin C}~,~\frac{cb\sin A}{c+b\sin A}~.\]
   注意到 , 由正弦定理有 \(ac\sin B=ba\sin C=cb\sin A\) , 所以只需考虑分母中最小的 . 设 \(\triangle ABC\)的外接圆半径为 \(R\) , 则 \(a,b,c\le 2R\) , 且由正弦定理有\[(a+c\sin B)-(b+a\sin C)=a+\frac{bc}{2R}-b-\frac{ac}{2R}=\frac{(a-b)(2R-c)}{2R}\ge 0~,\]\[(b+a\sin C)-(c+b\sin A)=b+\frac{ca}{2R}-c-\frac{ba}{2R}=\frac{(b-c)(2R-a)}{2R}\ge 0~,\]所以 \(a+c\sin B\ge b+a\sin C\ge c+b\sin A\) . 由于 \(b\sin A=a\sin B\) , 因此顶点都在该三角形三边上的最大内接正方形的边长为 \(\displaystyle \frac{ac\sin B}{c+a\sin B}\) .

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4. 第4题

   

   如图所示 , 以 \(L_1,L_2\) 夹角的角平分线为 \(x\) 轴 , \(O\) 为原点建立直角坐标系 . 设\(L_1,L_2\)的夹角为 \(\displaystyle 2\theta~(\theta<\frac{\pi}{2})\) , 则直线 \(L_1\) 的斜率为 \(\tan\theta\) , 直线 \(L_2\) 的斜率为 \(-\tan\theta\) . 设 \(A,B\) 的坐标分别为 \((x_1,x_1\tan\theta),(x_2,-x_2\tan\theta)\) . 则由 \(S_{\triangle OAB}=\lambda\) 知\[\frac{1}{2}\cdot\frac{x_1}{\cos\theta}\cdot\frac{x_2}{\cos\theta}\cdot\sin 2\theta=\lambda~\Longrightarrow~x_1x_2=\frac{\lambda}{\tan\theta}~.\]又因为此时 \(D\) 的坐标为 \(\displaystyle(x,y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_1-x_2)\tan\theta}{2}\right)\) , 此时\[\begin{aligned}\frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=&\frac{(x_1+x_2)^2\tan\theta}{4\lambda}-\frac{(x_1-x_2)^2\tan\theta}{4\lambda}\\ =&\frac{4x_1x_2\tan\theta}{4\lambda}=1\end{aligned}\]
   因此 \(D\) 随着 \(A,B\) 的运动构成轨迹在双曲线 \(\displaystyle \frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=1\) 的右侧上 . \\
   又因为 , 若 \(A,B\) 的坐标分别为 \((x_1,x_1\tan\theta),(x_2,-x_2\tan\theta)\) 时 \(A,B\) 满足题意 , 那么 \(A’(x_2,x_2\tan\theta),B’(x_1,-x_1\tan\theta)\) 也满足题意 , 此时 \[ D'\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_2-x_1)\tan\theta}{2}\right)\quad\mathrm{and}\quad D\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_1-x_2)\tan\theta}{2}\right)\] 关于 \(x\) 轴即\(L_1,L_2\) 夹角的角平分线对称 , 所以轨迹 \(\Gamma\) 关于 \(L_1,L_2\) 夹角的角平分线反射对称 . 又对任意的\(\displaystyle\xi\ge \sqrt{\frac{\lambda}{\tan\theta}}\) , 方程组\[\begin{cases}\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}=\xi\\ \displaystyle x_1x_2=\frac{\lambda}{\tan\theta}\end{cases}\]有正数解 , 加之前面已证轨迹 \(\Gamma\) 关于 \(L_1,L_2\) 夹角的角平分线反射对称 , 所以双曲线 \(\displaystyle \frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=1\) 的右侧能被轨迹 \(\Gamma\) 覆盖 , 即轨迹 \(\Gamma\) 就是双曲线 \(\displaystyle \frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=1\) 的右侧 . 综上所述 , 得证 .

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5. 第5题
   反设 \(a_1,a_2,\cdots,a_{10}\) 全部不小于 1 , 于是可令 \(b_i=a_1-1\) , 则 \(b_i\ge 0\) , 其中 \(i=1,2,\cdots,10\) . 于是有\[\sum_{n=1}^{10}b_i=20~,~\prod_{n=1}^{10}(1+b_i)<21~.\]注意到 \(b_i\ge 0\) , 所以\[21>\prod_{n=1}^{10}(1+b_i)\ge 1+\sum_{n=1}^{10}b_i=21~,\]矛盾 . 因此 \(a_1,a_2,\cdots,a_{10}\) 必有一者在区间 \((0,1)\) 上.

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6. 应该是一共六个题。文科1~5，理科2~6。这里没有文科的第一题呀。

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   • @tommy 额,是吗,我不知道耶.

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7. 好厉害~我考试的时候怎么没想出来~

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