《2012年北京大学保送生测试数学试题及参考解答》上有 8 条评论

1. 第一题:设 $k=a_1+a_2$ , 则 $a_3+a_4=q^2k$ , 因此

   $$5=a_3+a_4-a_1-a_2=(q^2-1)k\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{5}{q^2-1}$$

   由题意 $k>0$ , 所以 $q^2-1>0$ , 因此由均值不等式有

   $$\begin{aligned}a_5+a_6=&q^4k=\frac{5q^4}{q^2-1}=5\left(q^2+1+\frac{1}{q^2-1}\right)\\ =&5\left(q^2-1+\frac{1}{q^2-1}\right)+10\\ \ge & 5\cdot 2\sqrt{(q^2-1)\cdot\frac{1}{q^2-1}}+10\\ =&10+10=20\end{aligned}$$

   当 $a_1=5(\sqrt{2}-1),q=\sqrt{2}$ 时 , 易验证此时 $a_5+a_6=20$ , 因此最小值为 20 .

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2. 第二题:反设 $f(a)\ne a$ , 则可设 $a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))$ 的公比为 $q$ , 显然 $q\ne 1$ . 此时有

   $$f(a)-qa=0\quad\Longrightarrow\quad f(x)-qx=k(x-a)(x-b)~,$$

   其中 $k,b$ 待定 , 且$k\ne 0$ . 此时 $f(f(x))-qf(x)=k(f(x)-a)(f(x)-b)$ , 而 $f(f(a))=qf(a)$ , 所以

   $$0=f(f(a))-qf(a)=k(f(a)-a)(f(a)-b)~.$$

   因为 $f(a)\ne a$ , 所以 $f(a)-b=0$ , 即 $b=qa$ , 因此

   $$f(x)-qx=k(x-a)(x-qa)~.$$

   又因为 $f(f(f(a)))=qf(f(a))$ , 所以

   $$\begin{aligned}0=&f(f(f(a)))-qf(f(a))=k(f(f(a))-a)(f(f(a))-qa)\\=&k(q^2a-a)(q^2a-qa)\end{aligned}$$

   因为 $a,q>0,k\ne 0$ 且 $q\ne 1$ , 所以上式不可能成立 , 矛盾 . 因此 $f(a)=a$ .

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3. 第3题
   
   由于内接正方形的顶点都在三角形三边上 , 那么必然有两相邻顶点位于同一边上 . 于是由对称性 , 我们先考虑相邻两顶点在边 $BC$ 边上的情形 , 此时正方形的位置如图所示 , 下面求正方形 $XYZW$ 的边长 ,设之为 $x$ . 作高 $AD\bot BC$ 于 $D$ , 则 $AD=c\sin B$ . 因为 $WX$ 平行于 $AD$ , 所以

   $$\frac{BW}{BA}=\frac{WX}{AD}=\frac{x}{c\sin B}~;$$

   又因为 $WZ$ 平行于 $BC$ , 所以

   $$\frac{AW}{AB}=\frac{WZ}{BC}=\frac{x}{a}.$$

   因此

   $$1=\frac{BW}{BA}+\frac{AW}{AB}=\frac{x}{c\sin B}+\frac{x}{a}~\Longrightarrow~x=\frac{ac\sin B}{a+c\sin B}.$$

   同理可得相邻两顶点在其它二边上时内接正方形的边长为

   $$\frac{ba\sin C}{b+a\sin C}~,~\frac{cb\sin A}{c+b\sin A}~.$$

   
   注意到 , 由正弦定理有 $ac\sin B=ba\sin C=cb\sin A$ , 所以只需考虑分母中最小的 . 设 $\triangle ABC$的外接圆半径为 $R$ , 则 $a,b,c\le 2R$ , 且由正弦定理有

   $$(a+c\sin B)-(b+a\sin C)=a+\frac{bc}{2R}-b-\frac{ac}{2R}=\frac{(a-b)(2R-c)}{2R}\ge 0~,$$

   $$(b+a\sin C)-(c+b\sin A)=b+\frac{ca}{2R}-c-\frac{ba}{2R}=\frac{(b-c)(2R-a)}{2R}\ge 0~,$$

   所以 $a+c\sin B\ge b+a\sin C\ge c+b\sin A$ . 由于 $b\sin A=a\sin B$ , 因此顶点都在该三角形三边上的最大内接正方形的边长为 $\displaystyle \frac{ac\sin B}{c+a\sin B}$ .

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4. 第4题

   

   如图所示 , 以 $L_1,L_2$ 夹角的角平分线为 $x$ 轴 , $O$ 为原点建立直角坐标系 . 设$L_1,L_2$的夹角为 $\displaystyle 2\theta~(\theta<\frac{\pi}{2})$ , 则直线 $L_1$ 的斜率为 $\tan\theta$ , 直线 $L_2$ 的斜率为 $-\tan\theta$ . 设 $A,B$ 的坐标分别为 $(x_1,x_1\tan\theta),(x_2,-x_2\tan\theta)$ . 则由 $S_{\triangle OAB}=\lambda$ 知

   $$\frac{1}{2}\cdot\frac{x_1}{\cos\theta}\cdot\frac{x_2}{\cos\theta}\cdot\sin 2\theta=\lambda~\Longrightarrow~x_1x_2=\frac{\lambda}{\tan\theta}~.$$

   又因为此时 $D$ 的坐标为 $\displaystyle(x,y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_1-x_2)\tan\theta}{2}\right)$ , 此时

   $$\begin{aligned}\frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=&\frac{(x_1+x_2)^2\tan\theta}{4\lambda}-\frac{(x_1-x_2)^2\tan\theta}{4\lambda}\\ =&\frac{4x_1x_2\tan\theta}{4\lambda}=1\end{aligned}$$

   
   因此 $D$ 随着 $A,B$ 的运动构成轨迹在双曲线 $\displaystyle \frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=1$ 的右侧上 . \\
   又因为 , 若 $A,B$ 的坐标分别为 $(x_1,x_1\tan\theta),(x_2,-x_2\tan\theta)$ 时 $A,B$ 满足题意 , 那么 $A'(x_2,x_2\tan\theta),B'(x_1,-x_1\tan\theta)$ 也满足题意 , 此时

   $$D'\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_2-x_1)\tan\theta}{2}\right)\quad\mathrm{and}\quad D\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{(x_1-x_2)\tan\theta}{2}\right)$$

   关于 $x$ 轴即$L_1,L_2$ 夹角的角平分线对称 , 所以轨迹 $\Gamma$ 关于 $L_1,L_2$ 夹角的角平分线反射对称 . 又对任意的$\displaystyle\xi\ge \sqrt{\frac{\lambda}{\tan\theta}}$ , 方程组

   $$\begin{cases}\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}=\xi\\ \displaystyle x_1x_2=\frac{\lambda}{\tan\theta}\end{cases}$$

   有正数解 , 加之前面已证轨迹 $\Gamma$ 关于 $L_1,L_2$ 夹角的角平分线反射对称 , 所以双曲线 $\displaystyle \frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=1$ 的右侧能被轨迹 $\Gamma$ 覆盖 , 即轨迹 $\Gamma$ 就是双曲线 $\displaystyle \frac{x^2}{\lambda/\tan\theta}-\frac{y^2}{\lambda\tan\theta}=1$ 的右侧 . 综上所述 , 得证 .

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5. 第5题
   反设 $a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 全部不小于 1 , 于是可令 $b_i=a_1-1$ , 则 $b_i\ge 0$ , 其中 $i=1,2,\cdots,10$ . 于是有

   $$\sum_{n=1}^{10}b_i=20~,~\prod_{n=1}^{10}(1+b_i)<21~.$$

   注意到 $b_i\ge 0$ , 所以

   $$21>\prod_{n=1}^{10}(1+b_i)\ge 1+\sum_{n=1}^{10}b_i=21~,$$

   矛盾 . 因此 $a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 必有一者在区间 $(0,1)$ 上.

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6. 应该是一共六个题。文科1~5，理科2~6。这里没有文科的第一题呀。

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   • @tommy 额,是吗,我不知道耶.

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7. 好厉害~我考试的时候怎么没想出来~

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