列举几个最基本最常用的不等式.
均值不等式(A-G)
如果[latex]x_1,x_2,\cdots,x_n[/latex]为非负实数,那么有
[latex]x_1+x_2+\cdots+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}[/latex]
等号成立当且仅当[latex]x_1=x_2=\cdots=x_n[/latex].
柯西不等式(Cauchy-Schwarz)
对任意的实数[latex]a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n[/latex],都有
[latex](a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2[/latex]
等号成立当且仅当[latex]\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}[/latex].
排序不等式
如果[latex]a_1\le a_2\le \cdots\le a_n,b_1\le b_2\le \cdots\le b_n[/latex],并且[latex]c_1,c_2,\cdots,c_n[/latex]是[latex]b_1,b_2,\cdots,b_n[/latex]的任意一个排列,那么有
[latex]a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n[/latex]
[latex]\ge a_1c_1+a_2c_2+\cdots+a_nc_n[/latex]
[latex]\ge a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1[/latex]
也就是说:正序和[latex]\ge [/latex]乱序和[latex]\ge [/latex]逆序和.
切比雪夫不等式
如果[latex]a_1\le a_2\le \cdots\le a_n,b_1\le b_2\le \cdots\le b_n[/latex],那么有
[latex]n\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i\ge \sum\limits_{i=1}^n a_i\sum\limits_{i=1}^n b_i\ge n\sum\limits_{i=1}^n a_ib_{n+1-i}[/latex]
Young不等式
如果[latex]x,y>0[/latex],实数[latex]p>1[/latex]以及实数[latex]q[/latex]满足[latex]\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1[/latex],那么有
[latex]\frac{1}{p}x^p+\frac{1}{q}y^q \ge xy[/latex]
赫德不等式(Holder)
如果[latex]a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n[/latex]都是非负实数,实数[latex]p>1[/latex]以及实数[latex]q[/latex]满足[latex]\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,[/latex]那么有
[latex](\sum\limits_{i=1}^n a_i^{p})^{1/p}(\sum\limits_{i=1}^n b_i^{q})^{1/q}\ge \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i[/latex]
闵可夫斯基不等式(Minkowski)
如果[latex]a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n[/latex]都是非负实数且实数[latex]p>1[/latex],那么有
[latex](\sum\limits_{i=1}^n a_i^{p})^{1/p}+(\sum\limits_{i=1}^n b_i^{p})^{1/p}\ge (\sum\limits_{i=1}^n (a_i+b_i)^{p})^{1/p}[/latex]
舒尔不等式(Schur)
如果[latex]a,b,c\ge 0,r>0[/latex],那么有
[latex]a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-c)(b-a)+c^r(c-a)(c-b)\ge 0[/latex]
等号成立当且仅当[latex]a=b=c[/latex],或其中两数相等而另一数为[latex]0[/latex].
琴生不等式(Jensen)
对于在区间[latex](a,b)[/latex]上的函数[latex]f(x)[/latex],如果对任意的[latex]x_1,x_2\in (a,b)[/latex],都有
[latex]f(x_1)+f(x_2)\ge 2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right),[/latex]
那么对任意的[latex]x_1,x_2,\cdots,x_n\in (a,b)[/latex]有
[latex]f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\ge nf\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)[/latex]
伯努利不等式(Bernoulli)
如果[latex]a>-1,a\ne 0[/latex],则对一切实数[latex]n(n\ne 0,1)[/latex],有
[latex](1+a)^n <1+na,\forall n\in (0,1),[/latex]
[latex](1+a)^n >1+na,\forall n \in (-\infty,0)\cup (1,+\infty).[/latex]
嵌入不等式
在三角形[latex]ABC[/latex]中,对任意的实数[latex]x,y,z[/latex],有
[latex]x^2+y^2+z^2\ge 2(xy \cos C+yz \cos A +zx \cos B)[/latex]
等号成立当且仅当[latex]x:y:z=\sin A:\sin B:\sin C[/latex].
参考资料如下资料——电子版下载[新浪,VeryCD] 
